股票十年後會變成多少？先把可能落點的範圍畫出來

只要平均報酬率與標準差，就能把十年後股價比較可能落在哪個範圍畫出來。本文用線上試算的預設值示範：十年後期望值383.9元、中位數320.5元，以及68%與95%區間，並說明波動損耗、右偏分配，以及這套模型沒有講完的事。

讀者最常問我的問題之一，大概就是這句：「老師，我這檔股票（或ETF）十年後會變成多少？」

老實說，沒有人能給你一個準確的數字。股票明天會漲還是會跌，本來就沒人能事先知道；十年後的價格，當然更不可能算到「剛好是幾元」。可是，這並不表示我們對未來完全沒轍。只要兩個數字──平均報酬率和標準差──就能把十年後股價「比較可能落在哪個範圍」畫出來。

這不是算命，也不是保證獲利，而是用機率把不確定性講清楚。為了讓讀者自己動手看，我做了一個線上試算：

股價可能落點分析

下面就用這個工具，搭配實際數字走一遍。

先打開網頁，照預設值試一次

網頁標題是「股價可能落點分析」。一打開，會看到四個輸入欄，預設值是：

• 期初股價：100元
• 平均報酬率：14.4%
• 標準差：19.0%
• 最大持有年數：10年

這組數字只是方便示範，不是在預測某一檔股票一定會這樣走。實際使用時，請改成你要評估的標的：期初股價填現在的價格，平均報酬率和標準差則用它過去一段期間、含息還原後的報酬率來算。輸入值一改，網頁就會自動重算落點區間；你也可以再按「試算落點區間」。

另外還有兩個按鈕，用途不一樣：

• 「模擬一次」：用亂數走出一條可能的股價路徑，疊在理論區間上面。每次按，走勢都不一樣。
• 「模擬100次」：重複模擬一百次，只看持有到期時股價落在哪個區間、出現幾次，用來對照理論。按鈕上會顯示模擬的次數。

平均報酬率，簡單講就是「長期來看，這檔資產一年大概能賺多少」。標準差則是「實際報酬率偏離這個平均，上下晃動有多大」。標準差愈大，波動愈劇烈，未來的範圍也就愈寬。

至於這兩個數字怎麼來？可以把過去每年的報酬率攤開，用平均數當平均報酬率，用標準差衡量波動。記得要用含息還原的價格，才不會漏掉配息。像元大台灣50（0050）在2025年6月做過1拆4，分割本身不改變報酬率，但下載歷史價格時要確認已經還原，否則會算錯。過去的數字只能當假設，不能保證未來相同──這一點後面會再強調。

先看「試算落點區間」：十年後大概會落在哪

按「試算落點區間」之後，網頁會出現一張折線圖，標題是「不同年數之股價機率分佈」，橫軸是持有年數，縱軸是股價；下方還有一張明細表，列出每一年的「95%下限、68%下限、期望值、68%上限、95%上限」。

用預設值算下來，期初100元、持有十年的結果如下（股價都四捨五入到小數點後1位，跟網頁相同）：

欄位較多，手機請左右滑動查看完整表格。

單位：元。中位數由同一套公式算出，網頁表格沒有單獨列出，但可以從68%上下限回推。

重點先看第十年：

• 期望值（平均股價）是383.9元。也就是100元按14.4%複利十年：100 × (1+14.4%)^10。若真的每年都剛好賺14.4%，會走到這裡。累積報酬率283.9%，年化仍是14.4%。
• 但「最典型」的結果不是這個數字。十年後的中位數是320.5元，年化大約只有12.4%。網站表格沒有單獨列出中位數，不過它就在68%上下限的正中間（幾何中間）：175.8和584.5開根號，會得到320.5。
• 有68%的機會，十年後股價落在175.8元到584.5元之間，對應年化報酬大約5.8%到19.3%。這是正負1個標準差的範圍。
• 有95%的機會落在96.4元到1,066.0元之間，對應年化大約-0.4%到26.7%。這是正負2個標準差的範圍（精確一點是95.45%，跟網頁標示的95%是同一件事）。

換句話說，在這組假設下，連比較差的情況（95%下限），十年後也差不多守在本金附近。但這是因為14.4%的平均報酬率相當不錯；換一組較保守的數字，下限就沒有這麼樂觀，稍後會再示範。

另外，一年的上下界也不是把14.4%直接加減19%這麼單純。因為股價是「乘」上去的，一年的68%區間是92.9元到135.9元，不是95.4元到133.4元。

以平均報酬率14.4%、標準差19%為例，期望值、中位數與68%、95%區間如何隨時間張開。

讀者第一次看這張表，常會有兩個疑問。

第一，期望值為什麼不在68%區間的正中間，而且比中位數高？這不是算錯，而是股價分配「右邊比較長」的關係。少數走得很旺的路徑，會把平均值往上拉，所以超過六成的結果其實會低於期望值。後面用模擬圖會看得更清楚。

第二，為什麼時間愈長，上下限張得愈開？因為不確定性會累積。不過它不是「時間加倍，不確定就加倍」，而是大致跟著「時間的平方根」增加。一年的標準差是19%，十年不是19%×10＝190%，而是19%×√10≈60.1%（這是對數報酬的分散程度）。反映在股價上，帶子會愈來愈寬：一年時95%大約在76.8元到164.3元，十年就變成96.4元到1,066.0元。

白話公式：股價是乘上去的，不是加加減減

這個線上試算所用的公式，不是我自己發明的，而是財務學裡常用的股價模型，稱為幾何布朗運動。簡單講，就是假設報酬率大致呈鐘型分配，但股價是把報酬率一筆筆乘上去的，所以未來股價會呈現對數常態分配：左邊不會小於零，右邊卻可以拉得很長。這套說明寫在約翰·赫爾（John C. Hull）的教科書《選擇權、期貨與其他衍生性商品》（Options, Futures, and Other Derivatives）第11版（Pearson，2022年）第14章「Wiener processes and Itô's lemma」（維納過程與伊藤引理），其中14.7節就是「The lognormal property」（對數常態性質）。

用符號寫下來，就是：

S_t = S₀ · exp((μ − σ²/2) t + σ√t · Z)

看起來有點嚇人，拆開來看其實很生活化：

• S₀ 是現在的股價，S_t 是 t 年後的股價。
• μ 是連續複利的平均成長速度。網頁會先把你填的平均報酬率 r，用 ln(1+r) 換成 μ。以預設的14.4%為例，μ = ln(1.144) ≈ 13.45%。這樣轉換之後，期望股價剛好等於「現在股價 × (1+r)^年數」，跟我們平常算複利的習慣一致。
• σ 是標準差，也就是波動有多大。
• Z 是從標準常態分配抽出來的數字。Z＝0 是正中間（中位數）；Z＝+1、−1 大約涵蓋68%的情況，Z＝+2、−2 大約涵蓋95%。

中間那項「減掉 σ²/2」，就是常聽到的波動損耗。因為報酬率有時正、有時負，而股價是乘上去的，上下一對沖，複利會被吃掉一截。所以「平均每年14.4%」並不表示大多數人最後會拿到14.4%的年化；更典型的（中位數）年化，會比較接近12.4%。兩者相差約2.05個百分點。

期望值（平均股價）不受這項調整影響，十年後仍是383.9元；被往下拉的是中位數，以及那條你比較可能走出的路。網頁表格把期望值單獨列出來，68%和95%的上下限則是繞著中位數對稱展開（在對數上看是對稱的，換成股價就上寬下窄）。

為了讓這件事更有感，假設平均報酬率改成8%，只改標準差看看：

• 標準差10%，幾何年化（中位數）還有7.46%，只被吃掉0.54個百分點。
• 標準差20%，剩下5.86%，被吃掉2.14個百分點。
• 標準差30%，只剩3.25%，被吃掉4.75個百分點。
• 標準差40%，幾何年化變成−0.30%，等於長期複利幾乎被波動吃光，甚至略為負數。

注意：這裡的「平均報酬率8%」仍是期望值的那個8%；被拖下去的是實際比較可能拿到的年化。

平均報酬率固定為8%時，標準差10%、20%、30%、40%對應的幾何年化報酬率。

這也是為什麼資產配置那麼重要。不是報酬率數字愈高愈好，還要看你付出了多大的波動，長期複利才會比較穩。

可以再想一個更生活的例子：先漲20%再跌20%，兩年的「平均報酬率」是0%，但最後只剩96元（1.2 × 0.8 ＝ 0.96）。上下對沖之後，本金被吃掉一截──波動損耗要說的，就是這件事。

用亂數走走路，看看理論準不準

理論區間是用公式一次算出來的。網頁的「模擬一次」和「模擬100次」，則是用亂數去「走看看」，好讓你眼睛親眼對照。

「模擬一次」的做法是：把每一年切成100個小步，每一步抽一個常態分配的亂數，再按前面的公式更新股價，走出一條連續的路。圖上會同時畫出68%、95%區間和期望值，並在標題列出這一次的期末股價、累積報酬率和年化報酬率；下方還有很細的明細表。因為每一步都是隨機的，你每按一次，路徑都不一樣。大多數時候，這條路會走在帶子裡，但偶爾也會衝到帶子外面──95%本來就不是100%。

下面這張圖不是網頁的截圖，而是用同一套公式、同一組預設參數，一次畫出20條模擬路徑，方便看出「扇子」張開的樣子。深色實線是中位數，橘色虛線是期望值。

在平均報酬率14.4%、標準差19%的假設下，20條隨機路徑大多數走在區間裡，但每一條都不一樣。

若按「模擬100次」，網頁會重複走100趟，只記錄到期的股價，再依理論算出來的幾個分界點（95%下限、68%下限、期望值、68%上限、95%上限）分組，列出每個價格區間、對應的年化報酬區間，以及出現次數，並畫成圖。一百次其實不算多，每次按，各組次數都會有些出入，但大方向會跟理論接近。次數愈多，會愈接近。

順道提一下：分界點用的是「期望值」，不是中位數。因為分配是右偏的，低於期望值的次數通常會比高於期望值的次數多，中間兩組不會左右對稱，這是正常的。

我另外用同一套公式做了1萬次模擬（固定亂數種子，方便核對），十年後期末股價的分配如下：

• 模擬平均是382.5元，理論期望值是383.9元。
• 模擬中位數是318.0元，理論中位數是320.5元。
• 有62.2%的結果低於期望值383.9元。
• 有67.8%落在理論68%區間（175.8～584.5元），有95.4%落在理論95%區間（96.4～1,066.0元）。

跟理論相當接近。

1萬次模擬的十年期末股價直方圖。右邊拉得比較長，平均值被少數大漲拉高，超過六成的結果低於期望值。

這張圖值得多看一眼。高峰出現在中位數附近，不是在期望值附近。右邊有一條長尾巴，表示少數路徑漲得很多；左邊比較短，因為股價不會小於零。所以不要把「期望值383.9元」當成「我大概會拿到的數字」。你比較可能拿到的，比較靠近320.5元；383.9元是把所有可能結果（含那些漲很多的）拿來平均之後的值。

標準差改一改，範圍差很多

期望值只跟期初股價、平均報酬率、年數有關，跟標準差無關。以預設的14.4%、十年、100元為例，不管標準差填多少，期望值都是383.9元。會跟著標準差大幅改變的，是中位數和上下限。

同樣持有十年、平均報酬率14.4%、期初100元：

欄位較多，手機請左右滑動查看完整表格。

單位：元。

標準差從19%升到30%，期望值沒變，中位數卻從320.5元掉到244.8元，年化從12.4%降到9.4%；95%下限更從96.4元掉到36.7元，表示在較差的情況，本金可能只剩下三成多。標準差再升到40%，中位數只剩172.5元，95%下限只剩13.7元。波動不只讓區間變寬，也會把「比較可能的結果」往下拉。

讀者可以在股價可能落點分析網頁上把標準差改成30%或40%，自己看圖和表怎麼變。也可以把平均報酬率改保守一點，例如8%、標準差20%、持有十年：期望值變成215.9元，中位數176.8元（年化5.86%），95%區間大約是49.9元到626.2元。同樣是十年，下限已經可能腰斬，這跟前面14.4%那組的感覺完全不同。

這套模型沒有講完的事

最後一定要講清楚：這是模型，不是保證。

第一，真實市場的漲跌，尾巴往往比常態分配更厚。也就是極端大漲、極端大跌的次數，可能比模型假設的更常見。95%聽起來已經很寬，但仍會有落在外面的時候；碰到金融危機，實際跌幅也可能比模型畫的下限更難看。

第二，波動不是每年都很平順。真實市場常常是「一段時間很平靜，一段時間劇烈動盪」，專業上稱為波動聚集。模型卻假設標準差一直維持不變。

第三，你填進去的平均報酬率和標準差，來自過去。過去的績效不代表未來，這句話雖然老，卻是真的。市場估值、利率、產業結構變了，這兩個數字就可能變。工具可以幫你回答「假如未來跟這個假設差不多，範圍會是怎樣」；它不能告訴你「未來一定是這個假設」。

所以，請不要把試算結果當成獲利保證，也不要把它當成進出場的訊號。它的價值在於幫你把問題換一種問法：從「十年後會漲到多少」，改成「如果最差大概會落到哪裡、典型結果又大概在哪裡，我能不能接受、資金能不能放這麼久」。

範圍你能接受，長期持有才有意義；範圍你睡不著，再漂亮的期望值都沒有用。這才是這個工具真正要幫你看的事情。

本文試算僅供教育說明，不構成任何投資建議。投資有風險，請讀者自行斟酌。

線上試算：股價可能落點分析