用Excel計算成長型年金

Excel 的FV及PV財務函數，是以輸入之參數描述現金流量，每種參數都只有一個，對pv或fv單筆金額的參數不會有問題，但pmt參數因為屬於年金，每一期都有現金流量，所以每一期的pmt都必須一樣才適用。而且，pmt參數和nper(期數)及type參數一起才能完整描述現金流量。

例如某財務應用的現金流量如圖一所示，總共有5期，在每一期的期末都有10,000元收入。所以這財務應用的現金流量參數設定如下：

pmt=10000、nper=5、type=0

雖然在計算PV及FV時，每一期的pmt都必須一樣才可以使用。但是當pmt的現金流量以等比例(g)往上成長或往下衰退時也可以使用，只是報酬率比需使用有效報酬率(r-g)/(1+g)，其中r為報酬率。除了報酬率必須更換之外，對於不同型態的pmt年金(期初或期末)，會有些微的調整。對於想進一步了解為何這樣的讀者，本文也有PV公式的推導，FV的部分就留給讀者自行練習。不喜歡數學的投資者，使用下表整理好的公式即可。

表一：年金成長型態的PV及FV公式應用 (pmt年金、r報酬率、g成長率、nper期數)

範例一：退休金

Peter預計60歲退休，退休後生活費預估每年60萬元，假設退休後報酬率每年6.0%，通貨膨漲率2.0%，要準備多少退休金才足以使用至100歲？(參考投影片http://goo.gl/4KqNhK第3~4頁)

現金流量總共有40筆(61~100歲)，生活費不會每年固定60萬，而是每年以2.0%的通貨膨漲率成長。那麼退休準備金所需金額，就是未來所有現金流量的現值，可使用PV函數計算，但必須使用實際報酬率(6%-2%)/(1+2%)，且因為屬於期末年金，所以PV函數的數值還必須除上(1+g)，所以得準備1,177萬9,943元才足夠，公式如下：

=PV((6%-2%)/(1+2%), 40, 600000)/(1+2%)
=-1,177萬9,943元 (負值代表現金流出)

更精確一點，年初及年末的生活費應該不一樣，因為前後剛好差了一年的通膨，所以最好的方式就是用年中的金額，也就是多了半期的通貨膨漲率才更精準，就是起始值為60萬乘上(1+2%)^0.5，所以：

=PV((6%-2%)/(1+2%), 40, 600000*(1+2%)^0.5)/(1+2%)
=-1,189萬7,160元 (負值代表現金流出)

範例二：定期不定額投資

投資全球已開發市場股票型基金，第一年底投入金額12萬，且金額每年以3%成長，若平均投資報酬率為10%，10年後的基金淨值應該是多少？

=FV((10%-3%)/(1+3%),10,-120000)*(1+3%)^9
=214萬2,559元

公式推導

PV函數：期末年金

圖一：PMT現金流量，每期金額相同，發生於期末

Excel的PV函數對期末年金PMT(type=0)的計算公式如下：

圖二：PMT現金流量，每期成長率g，發生於期末

成長型PMT(type=0)使用PV函數公式推導：

PV函數：期初年金

圖三：PMT現金流量，每期金額相同，發生於期初

Excel的PV函數對期初年金PMT(type=1)的計算公式如下：

圖四：PMT現金流量，每期成長率g，發生於期初

成長型PMT(type=1)使用PV函數公式推導：