如何用科學方法做投資決策？

我們都知道投資個股的風險比較大，投資定存的風險比較小，然而光靠這樣的描述是沒辦法做投資決策的，必須知道投資某項資產，獲利的機率有多少，以及虧損的機率又有多少，這樣做決策才容易。

這就好似氣象預報，每次颱風一來，市長在前一晚就得做出決定是否放颱風假，然而只有天知道隔日會不會出現七級陣風，但是氣象局若能預估出現的機率對決策就很有幫助了。投資也是一樣，若能預知獲利及虧損的機率，就可以比較正確的做好投資決策。

報酬與風險是一體兩面，缺一就無法正確描述。報酬就是以報酬率表示，而風險是以標準差表示。報酬率也有累積報酬率、年化報酬率以及平均報酬率之分，所代表的意義都不一樣。投資者通常較關心投資績效，看的都是累積報酬率及年化報酬率。然而，這些都是過去績效，對預估未來沒有幫助，只有平均報酬率才是預估用的。

首先就得先了解報酬率的意義，公式是獲利(虧損)除上投入金額(如圖一)，獲利就是期末比期初投入多出來的部分，虧損就是期末比期初投入少掉的部分，也就是比原來投入金額多了多少，或是少了多少，所以報酬率其實是成長率的概念，也就是資金的成長率，是衡量投資最重要的關鍵因素。

圖一：投資報酬率就是資金成長率

一般的報酬率若沒有特別指明，就是一段期間的累計報酬率，例如股票代號0050這檔元大發行ETF，2018/2/5收盤價83.6元，到了2021/2/5收盤價134.8元，價差51.2元，加上這期間配息共10.35元，價差加上配息總共61.55元，除上期初收盤價，報酬率為73.6%，也就是獲利是投入金額的73.6%，也可以說投入金額成長了73.6%。

然而這是未考慮配息再投入的結果，如果期中領到的配息當天再投入的話，最後結果就不一樣了，而且時間愈久就差愈多。表一假設在2018/2/5以83.6元買進0050一張，投入金額8萬3,600元，擁有股數1,000股，到了2018/7/23收到每單位配息0.7元，配息收入共700元，當日收盤價84.55元，可以買到8.28股，累積股數1008.28股。到了第2次配息時，每單位配息2.3元，收到的配息就不再是乘上1,000股，而是乘上累積股數1,008.28股，總共收到配息2,319元，當天收盤價74.05元，可以買到31.32股，累積單位數來到了1,039.6股。依此類推，到了最近的配息日2021/1/22，累計單位數來到了1,114.03單位，在期末2021/2/5之前都沒有再配息，所以維持單位數1,114.03，該日收盤價134.8元，總淨值為15萬170元，累積報酬率79.6%【=150170/83600-1】。通常將配息再投入的報酬率稱之為投資績效。

表1：0050最近3年配息

這是3年的投資累積績效，若是換算成每年的報酬率，又稱之為年化報酬率，計算方式得考慮複利，並不是單純的除上3，而是用下列Excel公式計算：

年化報酬率 = (1+累積報酬率)^(1/年數)-1

所以0050最近3年的累積報酬率為79.6%，相當於年化報酬率21.6%【=(1+79.6%)^(1/3)-1】。

風險量化後才能預估未來報酬範圍

累積報酬率及年化報酬率是結果論，至於是如何得到這樣的累積報酬率，過程又是如何，當中承受了多少風險，並沒有提供這樣的訊息。現代投資組合理論使用報酬率的平均值與標準差，就可以預估未來報酬率的機率分布，提供投資決策的依據。

方法是蒐集一組資產固定期間的每一期報酬率，然後算出平均值及標準差。平均值就是所有報酬率的算術平均，而標準差則是報酬率偏離平均值的程度。標準差愈大並不代表全然不好，如果報酬率比平均值高出許多，這是好現象，但也代表穩定度不夠，會比平均值高出許多，也代表會比平均值低很多，只是機率各半。只要報酬率的平均值是正的，那麼淨值的長期趨勢就會往上走，而標準差愈大，淨值偏離平均值就愈多，可能比平均值高，也可能比平均值低，這就是波動風險愈大。

就以最近3年的0050績效為例，每個月都假設月初買入月底賣出，這樣可以求得36個月的報酬率，每月報酬率如圖2，這些報酬率的平均值為1.74%，標準差5.6%。平均值及標準差可以分別用Excel的AVERAGE及STDEV.S函數計算，只要將每月報酬率代入公式即可。

有了平均值及標準差，就可以預估未來落點的機率，只要是常態分配，68%的機率會出現在平均值正負一個標準差之內，就是平均值減掉1倍的標準差，以及平均值加上1倍的標準差，95%機率會出現在平均值正負2倍標準差之內，99.7%的機率會出現在平均值正負3倍標準差之內。

例如預估某家超商每天可以賣出多少個茶葉蛋，只要將過去一個月每日的銷售紀錄拿出來，求得平均值及標準差，就可以推估每一天銷售量的可能落點。例如過去3個月平均起來每日銷售400顆，標準差50顆，那麼每日有68%的機率銷售量介於350~450顆，只有13.5%機率會在300~350顆之間，也只有13.5%機率介於450~500顆，但是再少也不會少於250顆，再多也不會多於550顆。為何是這些數字，因為平均值400顆，標準差50顆，每偏離平均值一個標準差就是偏離50顆，所以是350, 300 , 250以及450, 500, 550顆茶葉蛋。

但是過去績效不代表未來，這是正確的。就好似今天賣了520顆茶葉蛋，並無法期待明天也可以賣520顆，但是過去茶葉蛋銷售的系統特性，是可以用過去資料預估的，而銷售數量的平均值及標準差，就是這家超商銷售茶葉蛋的系統特性。只要用過去1個月或3個月的銷售平均值及標準差，就可以當作超商的系統特性，用於評估未來落點，當中會有些許誤差，但是在可接受的範圍。

0050的系統特性在過去3年，每月報酬率的平均值為1.74%，標準差為5.6%，就可以用來預估未來一個月報酬率的範圍，就是有68%機率會落在平均報酬率正負一個標準差之內，在-3.9%~7.4%之間，只有13.5%機率月報酬率落會在-3.9%~-9.6%，也只有13.5%機率月報酬率會介於7.4%~13.0%。

上述情形是每月報酬率的狀況，那麼每一年報酬率及標準差會是多少？如果用過去每一年的報酬率來算平均值及標準差，會出現樣本數不足，過去10年也只有10個年報酬率可用，精確度就大打折扣。實務上都使用月報酬率及月標準差去推估年報酬率及年標準差。年平均報酬率等於月報酬率乘上12，年標準差等於月標準差乘上開根號12。0050過去3年月報酬率1.74%，月標準差5.6%，所以相當於每年平均報酬率為20.9%【=1.74%*12】，年標準差為19.6%【=5.6%*12^0.5】。簡單解讀為68%的機率，每年報酬率會出現在1.4%~40.5%之間，只有13.5%機率每年報酬率出現在-18.2%~1.4%之間，也只有13.5%每年報酬率出現在40.5%~60%之間。

有了這樣的數據，對標的的選擇及投資決策是不是就可靠許多了。

圖2：0050最近36個月的報酬率

本文刊登於Smart智富月刊271期(2021 3月)