EXCEL函數-FV未來值

日期:2009-06-06

讀完本篇後,不了解Excel裡的FV函數應用也難。未來值或終值是屬於貨幣的時間價值之一環,Excel也提供了一個相對函數FV (Future Value)來相呼應。相信許多人或多或少都知道什麼是未來值,但是當使用Excel FV函數時,卻常常碰到一些問題,尤其是正負號部分常常讓使用者頭疼。本篇主要介紹該函數的意義及其應用,除了理論介紹以外,還附有範例供讀者參考。

何謂未來值

未來值的英文為Future Value (FV),另一個名稱為終值,就是當一筆金額經過一段時間的複利成長後,於未來具有的貨幣價值。簡單說現在的100元和未來的100元是不同價值的,這100元於未來的價值就稱未來值。未來值既然是以複利成長,那麼利率是多少,以及多久複利一次,就會影響到貨幣的未來價值。

在現實世界之財務狀況除了單獨的一筆金額需要求未來值外,常常也年金也有這需求。Excel的FV函數,主要是計算期初(pv)發生的單筆金額,以及年金(pmt)的現金流量一起考慮,然後計算其未來的價值。

未來值的應用非常廣泛,例如100存入銀行,年利率3%,3年後會拿回多少錢。又如現在100元一碗牛肉麵,假若通貨膨脹率每年2%,20年後一碗牛肉麵會變成多少錢。這些都是很典型的未來值應用範例。

單筆的未來值公式

單筆的未來值是計算期初(pv)有一筆金額,然後每期以利率(rate)複利成長,經過(nper)期後,其未來值(FV)公式如下:

FV = pv*(1+ rate)nper

FV

例如期初存入銀行10,000元,年利率10%,每年複利計算一次,請問6年後可領回多少?這是典型未來值的計算:
pv = 10000;nper = 6;rate = 10%;
所以未來值 fv = 10000*(1+10%)6
以Excel公式表示:=10000*(1+10%)^6 = 17,716

年金之未來值

年金的意義是於期間內共分幾期(nper),每期均於期末產生一筆金額(pmt),每一筆金額都會以每期利率(rate)複利成長,若每期之金額pmt都相等。到了最後一期末時這些金額所累計的未來值的公式為:

年金未來值公式

詳細年金觀念請參考:年金-理論篇

年金未來值FV

上圖黃色長條代表年金現金流量。

例如每年均於年終時存入銀行1000元,總共存了6年,年利率10%,每年複利計算一次,到了第六年終時,總共可領回多少錢?
pmt = 1000;nper = 6;rate = 10%;
所以未來值 fv = 1000*((1+10%)6-1)/10%
以Excel公式表示:=1000*((1+10%)^6-1)/10% = 7,716

現金流量於期初發生

前述的年金現金流量均發生於期末,若同樣的現金流量都發生於期初,這樣的狀況只需將期末未來值再乘上(1+rate)就可以了,公式如下:

年金未來值公式(期初)

年金未來值(期初)

例如每年均於『年初』時存入銀行1000元,總共存了6年,年利率10%,每年複利計算一次,到了第六年終時,總共可領回多少錢?
pmt = 1000;nper = 6;rate = 10%
所以未來值 fv = 1000*(1+10%)*((1+10%)6-1)/10%
以Excel公式表示:=1000*(1+10%)*((1+10%)^6-1)/10% = 8,487

如何使用Excel的FV函數

上述算法都是一般財務書籍所使用的方式,可是Excel的 FV函數所使用的計算方式有一些不同,就是這一點點的不一樣,把許多的使用者弄得不知所措。

Excel的FV函數具有三大特色:

  • 單筆以及年金混合使用
  • 單筆及年金的現金流量,可各自使用正負值來代表
  • 未來值也是以正負值代表

FV函數的參數

FV函數的參數定義如下:
=FV(rate, nper, pmt, pv, type)

下表列出了參數的意義以及與單筆或年金相關的參數,可以看出利率rate及期數nper單筆或年金都會用到。pv為單筆之期初金額;pmt為年金之每期金額,type參數則只跟年金有關,說明年金是於期末(預設值)或期初發生。前面三項參數 rate、 nper、pmt是一定要有的參數不可以省略,後面兩項pv及type是可有可無,若這兩項沒有輸入,FV函數會採用預設值pv = 0; type = 0(期末)。

參數
意義
必要參數
單筆相關
年金相關
rate 每期利率
必要
nper 期數
必要
pmt 年金之每期金額
必要
pv 單筆之期初金額
選項
type 期初或期末
0:期末(預設)
1:期初
選項

pv及pmt的正負值

FV函數可計算:

  • 現值(pv)的未來值
  • 年金(pmt)的未來值

而且pv及pmt都可以用正負值來表示,正值代表現金流入,負值代表現金流出。例如定期存款:投資者將錢存入銀行,就是現金從投資者流出(負值),到期後收到銀行支付之本利和,就是現金流入投資者口袋(正值)

又如銀行房貸,以貸款者角度來看:期初時銀行會撥一筆款項進來,這筆金額便是現金流入貸款者(正值),之後每一月(期)均必須繳之攤還金額,是現金流出貸款者(負值)。反過來看,一個一模一樣的房貸,但從銀行角度來切入,期初時銀行會撥一筆款項給貸款者,這筆金額便是現金從銀行流出(負值),之後每一月(期)均收到貸款者的還款金額,這屬於現金流入銀行(正值)。所以說相同一件貸款,期初的撥款動作,對貸款者是現金流入,對銀行卻是現金流出。兩者之分別,端看以何種角度來看。

FV計算結果的正負值

計算出來的未來值FV也是以正負值來表示。咦~~~這就奇怪了,正的未來值很容易理解,負的未來值又代表何意義呢?其實FV函數所計算出來的結果等於『現值(pv)的未來值』加上『年金(pmt)未來值』的補數。也就是說:

現值(pv)的未來值 + 年金(pmt)的未來值 + FV = 0

這又代表啥意義呢?為簡化說明起見,當年金(pmt)未來值等於零,這時就只剩下單筆未來值。公式簡化為:現值(pv)的未來值 + FV = 0也就是:

FV = - 單筆(pv)未來值

若pv為正值,FV就是負值,代表一個若是現金流出,另一個就必須是現金流入,反之亦然。這樣才會平衡,這也是等號右項為零的意義。

例如期初時單筆拿出100元(pv=-100)去存銀行,年利率10%,3年後的未來值 = -100*(1+10%)^3 = -133.1,這時FV函數的結果 = -(-133.1) = 133.1元。白話的說就是拿出100元存銀行,3年後該拿回133.1元。這樣才會出入兩相平衡,好似期初(pv)拿出去100元,期末(FV)應該拿回來133.1元,這樣帳才會打平的意思。

假若現值(pv)的未來值等於零,這時:年金(pmt)的未來值 + FV = 0,FV = - 年金(pmt)的未來值

當兩者同時出現時:現值(pv)的未來值 + 年金(pmt)未來值 + FV = 0。也就是:

FV = - (現值(pv)的未來值 + 年金(pmt)未來值)

可是pv及pmt都各自可能為正值或負值。若pv及pmt均為正值(兩者都是現金流入),那麼FV就肯定是負值(現金流出)。相反的,若pv及pmt均為負值,那麼FV肯定是正值。若pv及pmt正負號各自相反時,『現值(pv)的未來值』及『年金(pmt)未來值』會有部分自行相互相抵消,那麼FV就只要平衡這兩者之差額了。若差額為 0,代表『現值(pv)的未來值』跟『年金(pmt)未來值』兩者是相等的。

範例

由以上這些敘述可以看出Excel的FV函數不只是一個單純的未來值而已,其功能是非常大的,也難怪不容易弄清楚。我想用一些範例加上圖解的方式來解釋,讀者會應該比較容易理解。

範例Excel

以下的範例也提供下載

單筆借款

James跟朋友借一筆10萬元的金額,雙方同意以年利率10%計息,借期2年以複利計算,請問到期後James該還朋友多少錢?

=FV(10%, 2, 0, 100000) = -121,000

以James角度來看,因為是借款,期初有一筆現金10萬元流入James,所以pv = 100,000。算出來的答案是-121,000,代表James必須拿出(現金流出)121,000還朋友,這筆帳才會平衡。

範例一

零存整付之定存

Lisa每月於期初均存入銀行一萬元,年利率2%,每月計算複利一次,請問一年後可以拿回多少錢?

=FV(2%/12, 12, -10000, 0 , 1) = 121,308

Lisa每月拿出10,000元(現金流出 pmt = -10,000),而且是期初拿出(type = 1),所以期末時(FV)當然要拿回121,308(現金流入),所以當然是正值了。

範例二

退休規劃

Michael現年35歲,現有資產200萬元,預計每年可結餘30萬元,若將現有資產200萬及每年結餘30萬均投入5%報酬率的商品,請問60歲退休時可拿回多少錢?

=FV(5%, 25, -300000, -2000000) = 21,090,840

這是單筆(pv)及年金(pmt)都是負值的例子,期初時拿出200萬元(pv=-2,000,000),而且每年於期末(type = 0)還拿出30萬元(pmt = -300,000),那麼期末當然是要拿回21,090,840元,這帳才會平衡。

範例三

貸款餘額

Peter有一筆100萬元的10年期貸款,年利率10%,每月支付13,215.074元,請問於第5年底貸款餘額為多少?

=FV(10%/12, 12*5, -13215.074,1000000)
= -621,972

這也是單筆(pv)加年金(pmt)的例子,只是pv為正值,pmt為負值。Peter於期初時拿入100萬元(pv = 1,000,000),每月繳納13,215.074(pmt = -13,215.074),到第5年時,pv及pmt兩相平衡後尚差-62,1972,也就是說期末時還必須拿出621,972,這筆帳才會平衡,代表期末貸款餘額尚差這金額。

同樣一個公式,如果將期數nper由5年(12*5)改為10年(12*10),FV一定會等於0,代表這貸款還清了。
=FV(10%/12, 12*10, -13215.074,1000000)
= 0

範例四

Excel的通用公式

喜歡數學的朋友看到下列式子一定很高興,這是從微軟Excel的FV函數的說明裡面節錄下來的。這個公式寫得非常漂亮,一個簡潔的公式道盡了所有貨幣時間價值的真諦。這等式左邊的第一項,就是單筆(pv)未來值的公式,第二項就是年金(pmt)未來值的公式,只不過多乘上(1+rate*type)來解決期初、期末的問題。第三項就是未來值FV了。等式的右邊項是零,代表說這個帳要打平。這真是個漂亮的公式,一個式子適用於所有的狀況。

Excel FV公式

以FV函數計算未來值因子(FVIF及FVIFA)

了解Excel FV函數的應用之後,應該不難理解FV函數也可以用來計算單筆未來值因子,及年金未來值因子。欲更深入了解的讀者可參考:現值及未來值因子表

未來值因子
Excel FV公式
FVIF(r, n) =FV(rate, nper, 0, -1)
期末 FVIFA(r, n) =FV(rate, nper, -1)
期初 FVIFA(r, n) =FV(rate, nper, -1, 0, 1)

不適用的年金

Excel的FV函數只適用每期金額大小都一致的年金。這種年金的現金流量每期一樣,所以可以使用公式來計算。若年金每期發生的現金流量金額都不一樣,如變額年金、每期金額以一定百分比成長(例如5%)之年金等,就無法使用Excel的FV函數了。這時便必須將每期所發生的現金流量,個別視為單筆,一一計算每一筆之未來值,然後再全部加總即可。

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