複利-完全攻略篇

日期:2009-06-11

想徹底了解複利的讀者,一定得詳加閱讀,本篇對複利有精闢的解說,讓你完全了解複利的意義及其計算方式。

單利

了解複利之前一定得先知道單利是什麼,因為單利與複利之間有著密不可分的關係。複利一定有付息期間,也就是在當期的最後一天,才將利息加到本金上,在期間內所產生的利息均是以單利計算。例如「每月」付息一次的複利,只有在每月的最後一天才以「單利」算出利息,然後再將此利息加上期初的本金,做為下一期計息的本金。這樣的複利也稱作月複利。同樣道理,若每季計息一次,就稱作季複利,意思是當季內產生的利息都是以「單利」計算。

單利的意義:不論付息期間是多久,所茲生的利息均不會加入本金再循環計息,也就是說計息的本金從期初到期末都是一樣的。這樣單利公式就變得很簡單:

設期初本金為 PV,名目利率為 Rn,期間為"t" 年,所以一年會產生的利息金額就是 PV* Rn,再乘上期間"t",就是單利的公式了:

利息 = PV*Rn*t

期末終值(FV)
= PV + 利息
= PV + PV*Rn*t
= PV*(1+Rn*t)
---------公式(1)

Rn為名目年利率,t 為年數,不足一年以小數或分數表示。例如一季就是(t=1/4),Rn*t 等於 Rn/4。依此類推一個月(t = 1/12),一日(t=1/365),半年(t=1/2)。

單利

上圖是100元隨著時間(單位:年)以單利成長,可以看出不論時間多長、利率多少,終值或未來值都是以直線上升。

例一:張三跟朋友借款100萬元,約定利息以年利率6%『單利』計算,3年後還款。請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢?

本金(PV) = 1,000,000
年利率(Rn) = 6%
年數(t) = 3

期末終值(本利和)= 1000000*(1+6%*3) = 1,180,000

例二:李四跟朋友借款10萬元,約定利息以年利率10%『單利』計算,借款3個月,請問期末李四必須償還朋友多少錢?

本金(PV) = 100,000
年利率(Rn) = 10%
年數(t) = 3/12

期末終值(本利和) =100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500

Excel檔案下載

這裡提供一個Excel檔案供讀者下載,裡面共有四張工作表,都是本篇會用到之試算,分別為:

  • 單利
  • 複利
  • 複利次數之影響
  • 實質利率

複利

單利的計息方式對貸款者(出借方)似乎不是很公平,因為利息必須等到期末才拿得回來。如果將貸款期間縮短,就可早點拿到利息,這些提早拿回的利息,還可以借給別人生息呢!哈~~~如果世界上只有單利存在的話,那些貸款者將會拼命的將貸款期間縮短,因為那樣對他們會比較有利。

其實比較合理的方式是於借貸期間多了一個『付息期間』,就是每間隔多久結算一次利息。也就是每過一個付息期間,借款者就必須支付貸款者利息。這樣有時候也很麻煩,借款者支付利息非常頻繁,於是就有借款者希望不要每期都支付該筆利息,同意將利息加入本金,做為下期的計息本金。也就是將付息期間一到,變自動將『利息轉貸款』的意思,這就是複利的基本精神。

付息期間

付息期間內以單利計息

付息期間可能是一年、半年、一季或者一個月,甚至於是一個日,全依金融商品而異。付息期間內是以單利計算利息的,只有在付息日才會結算一次利息,然後把利息加入本金當做下一期的本金。例如銀行貸款以及定期存款的付息期間都是一個月,就是一個月結算利息一次,也可以說一個月複利一次的意思。又如債券的付息期間都會載明於債券上面,有每年付息一次的,也有半年付息一次。

複利計算公式

假若本金為PV,每一期之利率為rate,那麼 n 期後之本利和(FV):

FV = PV*(1+rate)n ---------公式(2)

這公式的意義是說:每經過一期(付息期間),就將上期之『期末終值(本利和)』乘上(1+rate)。一開始之期初金額為PV,所以經過 n 期後,期末終值就等於將PV乘上(1+rate)的n次方了。

複利

上圖是100元隨著時間(單位:年)以複利成長,可以看出複利終值並非直線,而是以指數成長的,愈到後面成長力道愈大。尤其當利率愈高時,彎度愈大。用數學的語言說:愈到後面,斜率愈大,也就是愈後面每年所成長金額愈大。舉個例子來說:以期初投入100元、2%及18%例,來瞧瞧20年後兩者相差多少?

 
2%
18%
1年
102
118
20年
149
2,739

到第一年底時只差了16元,可是20年後可是天壤之別,2%利率只有149元,18%卻有2,739元。

複利公式推導

期末終值(本利和):
= 期初本金 + 利息
= 期初本金 + 期初本金 *rate
= 期初本金*(1+rate)。

意思是每期末的終值等於該期之期初本金乘上(1+rate)。下表列出1~n期之『期末本利和』之明細,每期之『期末本利和』又當做下一期的『期初本金』去計息。所以第2期之『期初本金』等於第1期之『期末終值』;第3期之『期初本金』等於第2期之『期末終值』,依此類推。可以看出第 n 期之期末終值(FV) = PV*(1+rate)n

期數
期初本金
期末終值 (FV)
0
PV
1
PV PV*(1+rate)
2
PV*(1+rate) PV*(1+rate)*(1+rate) = PV*(1+rate)2
3
PV*(1+rate)2 PV*(1+rate)2*(1+rate) = PV*(1+rate)3
....
n
PV*(1+rate)n-1 PV*(1+rate)n

例如:張三跟朋友借款100萬元,約定利息以年利率6%複利計算,3年後還款,每年計息一次。請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢?

FV =1000000*(1+6%)3 =1000000*(1+6%)^3 =1,191,016

第1年 = 1000000*(1+ 6%) = 1,060,000
第2年 = 1060000*(1+ 6%) = 1,123,600
第3年 = 1123600*(1+ 6%) = 1,191,016

通用複利公式

公式(2)比較容易令人混淆的是每期利率(rate)及期數(n)。因應付息期間的不同,每期利率及期數算法均有些不同。有無一個通用的式子可以全部都適用呢?例如一般金融機構所都是使用年利率(或稱名目利率 Rn),名目利率就是去銀行時掛在牆壁上讓大家看的利率表,又名掛牌利率(現在利率變動頻繁,很多銀行現在都改成了LED顯示)。那麼,可以直接使用『名目利率(Rn)』換算成『每期利率(rate)』嗎?

是的,或許那些財務專家們聽到了大家的問題,就另外寫了一個公式,全部以名目利率為基礎。因為付息期間可能是一年、半年或一個月,那麼每期利率就可以用名目利率除上每年計息的次數來換算。每年計息次數一般會以 m 來代表,以半年計息一次為例,等於每年計息2次(m = 2),也就是說以『半年』為一期,一年有兩期。

每期利率 = Rn / m

可以直接這樣除的原因是:這半年內都以單利計算。依此類推,一月計息一次(m=12),rate 等於是月利率(Rn / 12)。

期數(n)也得隨著rate的付息期間來改變,例如半年計息一次(m=2),兩年到期,那麼就得使用半年利率(rate = Rn / m = Rn / 2)。因為一年有兩期,所以兩年就有4期了,所以期數(n)就變成『每年付息次數(m)』乘上『年數(t)』,也就是:n = m*t。

將公式(2)的rate換成(Rn/m),n換成(m*t)就可寫成通用的複利未來值或終值公式:

FV = PV*(1+Rn/m)m*t ---------公式(3)

  • PV:期初金額
  • Rn:名目年利率
  • m:每年計息次數(複利次數)
  • t:年數

Rn/m的意義是每期的利率,例如Rn / 2 就是半年利率;Rn / 4 就是季利率;Rn / 12 就是月利率。m*t就是總計息次數,也就是俗稱的複利次數,例如每月複利一次(m=12),3年(t=3)總共複利36次 (12*3)。

複利之未來值

例如100元存入銀行,名目年利率6%,每月複利一次,每年12次(m=12),求3年後之未來值FV?

每月計息一次,就是一年複利12次,所以m = 12。期間為3年(n=3),所以總共計息次數m*n = 12*3。
FV = 100*(1+6%/12)36
以Excel表示 =100*(1+6%/12)^36 = 119.67

同上例但是改成每季計息一次,求半年之未來值FV?

每季計息一次,就是一年計息4次,所以m = 4。期間為半年(n=1/2),所以總共計息次數4*(1/2) = 2。
FV = 100*(1+6%/4)2
以Excel表示 =100*(1+6%/4)^2 = 103.02

複利試算

期初金額(PV)
名目利率(Rn) %
複利次數(m)
年數(t)
 

複利次數對未來值之影響

每年複利的次數愈多,實質年利率就愈高,終值就愈高。但是差別到底有多少呢?在下載的Excel檔中,『複利次數之影響』這工作表,期初以100元投入(讀者可自行更改儲存格B1),分別以名目利率6%、20%兩組,每組均以年複利(1年複利1次)及日複利(1年複利365次)分別計算終值。下面有兩張圖,上圖為6%,下圖為20%。可以看出年利率“6%”的部份,不論每年複利一次或365次,20年之間差別不大。可是再看年利率“20%”(下圖),這兩者差別可就大了。

所以說利率愈高,每年複利次數的影響愈大。由下圖的分析,可以看出名目利率不大的話,終值對複利次數的敏感度不大。

複利次數之影響

實質年利率

根據公式(3),相同本金、相同年利率、相同期間,只是每年的複利次數不一樣時,就會有不同的結果。而且每年複利愈多次,應該得到更多錢才是。沒錯,複利次數愈多,一年後期末未來值就愈高,但不是等比例的提高,而是愈趨近於飽和。以100元存銀行,年利率6%,來看看不同的計息次數結果會有何不同:

計息
次數
Excel公式 未來值
(FV)
實質年利率
1
=100*(1+6%/1)^1
106.00
6.00%
2
=100*(1+6%/2)^2
106.09
6.09%
4
=100*(1+6%/4)^4
106.14
6.14%
12
=100*(1+6%/12)^12
106.17
6.17%
365
=100*(1+6%/365)^365
106.18
6.18%
=100*exp(6%)
106.18
6.18%

由上表可以看出計息次數由每年一次到12次時,實質年利率由6.00%升到6.17%,而且愈來愈平。複利次數由12次到365次時,實質年利率卻只由6.17%升到6.18%。也就是說每月複利一次跟每日複利一次沒差多少啦,我想這也是銀行複利次數以月複利為主的原因吧。

連續複利

複利既然那麼厲害,那麼每個貸款者也都心想著:要是能隨時都複利就好了。上表最後一列的每年計息次數就是無窮多次,也就是分分秒秒都在複利的意思,學術界稱這為連續複利。還好~~~上天有眼,沒給那些貸款者太多好處。連續複利實質增加有限,因為從『每月複利』到『每日複利』對實質年利率的改變都不是很大了,那麼『每日複利』到『連續複利』的實質年利率理應也改變不大才是,結果正如所料,還是維持6.18%沒變。

連續複利時,未來值的公式如下:

FV=PV*eRn*t

PV是期初值,e是自然指數,Rn 是『名目年利率』,t 是『年』。e在Excel裡用的是EXP函數。

例如100元投資利率6%,以連續複利計,兩年後的終值如下:

FV = 100*e(6%*2)  以Excel公式表示:

=100*EXP(6%*2)
=112.75

實質年利率公式

實質年利率的意思是:名目利率(Rn)經過一年多次的複利後,相當於一年複利一次的『實質利率』或稱『等值利率』。

利率的意思是:利息佔期初本金的比例,也就是:
利率(Re)
= 利息 / 本金
= (FV - PV) / PV
= FV/PV - 1 ---------公式(4)

FV可用公式(3)去代入,一年複利終值就是當 t = 1,所以將 FV = PV*(1+Rn/m)m 代入公式(4)

實質利率(Re)
= PV*(1+Rn/m)m/ PV -1
=(1+Rn/m)m- 1
---------公式(5)

Re =>實質利率 (Effect),Rn=>名目利率(Nominal ),m =>每年複利次數

實質利率



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