評估投資的好工具

日期:2008-04-06

一般常用淨現值(NPV)及內部報酬率(IRR)來評估一個投資案是否值得,在這裡先探討淨現值的觀念及應用,然後導出內部報酬率以及其真正意義?再探討IRR有哪些基本假設。最後討論在實務上如何應用Excel所提供的『修正內部報酬率 (MIRR)』。

淨現值(NPV)

淨現值是財物管理的一個專有名詞,意義在計算一個投資案是否有『超額』價值,如果NPV是正值代表該項投資超乎預期,而負的NPV就是該投資低於預期投資報酬。投資者將資金投入後,就是希望未來能夠回收,但是未來的投資回報是每年分批進來的。NPV的計算很簡單,每一個投資案都會有期望報酬率R,只要將該投資未來所產生的現金流量以報酬率R折成現值再全部加總,再扣除投資本金後,就是淨現值。意思是將未來所有的投資收入都折成現值,然後看看是否大於資金投入的金額。C1~Cn代表未來第1~n期的各期現金流入金額,R為期望報酬率,未來現金流入之總現值(PV)公式如下:

PV = C1 / (1+R)1 + C2 / (1+R)2 + ….. + Cn / (1+R)n ------------- (1)

另一個問題就是這期望報酬率R該用多少才合理呢?每一個投資案的期望報酬都不同的,高風險的投資案會要求較高的回報,風險較低的投資期望報酬就低。期望報酬率愈高,未來現金流入折現率就愈高,未來現金流入之總現值(PV)就低了。這可以由式子(1)可看出,因為1+R是除項,R愈高PV當然就愈低了。就因為期望報酬率R已經考慮了風險因素,也可以說總現值PV已反應了風險所需的報酬。

因為C1~Cn的現金流入是尚未發生的『評估值』,所以期望報酬R才會加入風險因素考量。試想若有一投資新設立汽車旅館案,發起者預估十年每年回本2000萬,請問多少錢你願意投入這項投資案?因為每年回本的2000萬只是預估值,未來是否達成目標還有很大的不確定因素,投資者要求的回報當然高了。一般說來沒有30%是沒人要的。但是只要這期望報酬率一定下來,剩下就只有計算問題了。再看另一投資『台電的增資案』,只要將台電未來所有的預期配發股息列出(C1~Cn),再決定期望報酬率R,代入式子(1)這投資案的價值就出來了。很明顯的台電投資案的期望報酬會比汽車旅館的期望報酬來的低,因為投資台電風險低太多了。

若已經知道投資案投入資金為C0,則淨現值的公式如下:

NPV = PV – C0 ------------------------(2)

淨現值意義就是:未來現金流入經期望報酬折現後之總現值PV,扣除現金投入C0。簡單說就是未來收入的現值PV和資金投入C0相比較,看哪一個大。

例一:有一項投資須要資金100萬,因為投資風險過高期望報酬率要求20%,預計每年獲利如下:

  • 第一年報酬20萬
  • 第二年報酬25萬
  • 第三年報酬30萬
  • 第四年報酬30萬
  • 第五年報酬加頂讓共得款93萬

所以NPV公式如下:

NPV = 200,000/(1+20%)1 + 250,000/(1+20%)2+ 300,000/(1+20%)3+ 300,000/(1+20%)4+ 930,000/(1+20%)5 – 1,000,000

上式可以用Excel公式表示如下:

= 200000/(1+20%)^1+ 250000/(1+20%)^2+ 300000/(1+20%)^3+ 300000/(1+20%)^4+ 930000/(1+20%)^5 -1000000 = 32,311

這結果說明了該項投資是值得的,報酬率超乎我們預期的20%。

注:本文所有藍色粗體之Excel公式,都可以直接複製到Excel儲存格直接計算。

再舉一個例子來說(例二):一家醫療院所預備投資一項昂貴的醫療設備,管理者在評估該項投資案是否成立時,通常會要求專案經理提出財務評估,其中最重要的一項就是淨現值是多少?該投資案資金需求1億元,期望報酬率10%,預計該項投資未來會帶來新客戶,連續6年每年均會新增獲利2,000萬。淨現值計算如下:

NPV = 20000000/(1+10%)^1+20000000/(1+10%)^2+20000000/(1+10%)^3+20000000/(1+10%)^4+20000000/(1+10%)^5+20000000/(1+10%)^6-100000000 = -12,894,786

結果顯示該項投資案的淨現值是負的,代表該項投資是不值得的,管理者應該否決該項投資案。讀者或許心中有疑問,連續6年都獲利2000萬,不就是1.2億了嗎?成本才1億,已經有賺錢了,怎會不值得投資呢?因為資金成本是10%,這一億元資本的投資者可是期待該資金每年應該獲利10%,如果無法達成10%利潤,公司價值便會降低。

Excel的NPV函數不是淨現值

Excel有提供一個NPV函數,但是意義卻不是真正淨現值,這函數是計算所有現金流量現值的加總。例一的淨現值如果直接用Excel 的NPV函數代入,是會得到錯誤的結果。

=NPV(20%,-1000000,200000,250000,300000,300000,930000) = 26,925

下列公式才是正確做法:

=-1000000 + NPV(20%,200000,250000,300000,300000,930000) = 32,311

其實我也相當訝異怎會微軟也會犯這麼大的錯誤,可是事實如此,要注意就是了。

內部報酬率(IRR)

淨現值的算法是先有預期報酬率R,然後將未來所有的現金流入,以利率R折讓為現值,再減去期初的資金投入。如果反過來問:假若R未知,但是期初資金投入及未來的現金流入為已知,那麼用何R值來折現未來的現金流入,剛好會使得NPV = 0?IRR的定義是:讓NPV為0的報酬率R,就稱為內部報酬率Internal Return Rate(IRR)。

例一的投資案,寫成NPV公式:

NPV = 200,000/(1+R)1 + 250,000/(1+ R)2+ 300,000/(1+ R)3+ 300,000/(1+ R)4+ 930,000/(1+ R)5 – 1,000,000

令NPV=0,就成為求IRR的式子:

0 = 200,000/(1+R)1 + 250,000/(1+ R)2+ 300,000/(1+ R)3+ 300,000/(1+ R)4+ 930,000/(1+ R)5– 1,000,000

上述公式所求得的R值就是IRR。問題是這公式的R如何求解呢?當然可以使用Excel的目標搜尋來求解,但是最簡單的方法是利用Excel提供的IRR函數,直接將現金流量代入,就可以得到答案。公式如下:

=IRR({-1000000,200000,250000,300000,300000,930000}) = 21.14%

也可以用另一個角度看這IRR,用最簡單的報酬率觀念來檢視,就是假設只有兩筆現金流量,一個是期初投入(PV),另一個是以利率R經過n期後的期末淨值(FV)

因為FV = PV*(1 + R)n

R = (FV/PV)1/n -1 -----------(3)

在上面例子裡n等於5年,PV是100萬。然後將期中每年分批之現金流入以IRR (21.14%)成長到第5年,期末淨值FV:

FV =200000*(1+21.14027%)^4+ 250000*(1+21.14027%)^3 + 300000*(1+21.14027%)^2 + 300000*(1+21.14027%)^1+ 930000*(1+21.14027%)^0 = 2,608,811

套上式子(3),年化報酬率R =(2608802/1000000)^(1/5) - 1 = 21.14%

上面的結論顯示:內部報酬率隱含著每年分批進來的現金流入(收入),都以IRR的利率成長至期末,所換算回來的年化投資報酬率。

修正投資報酬率(MIRR)

由內部報酬率的結論知道:IRR假設每年分批進來的現金流入,都會以IRR的報酬率成長。亦就是分批進來的現金流入,都以IRR報酬率再投資。可是實務上並不是這樣的,每年分批進來的現金不見得有機會以相同IRR報酬率再投資的,有些投資者或許只能放定存,積極的可能投資較高報酬率商品。如果分批進來的現金流入都以再投資的利率(reinvest rate)成長至期末,再用式子(3)求得報酬率R就是修正投資報酬率MIRR的意義。

假若例一的投資者的再投資報酬率是5%,那麼分批進來的現金流入5年後淨值FV:

=200000*(1+5%)^4+ 250000*(1+5%)^3 + 300000*(1+5%)^2 + 300000*(1+5%)^1+ 930000*(1+5%)^0

= 2,108,257.5

年化報酬率R,每年 =(2108257.5/1000000)^(1/5)-1 = 16.09%

亦就是說經過再投資報酬率的修正,年化報酬率降為16.09%。上面說明都只是為了解釋MIRR所做的繁雜計算,其實Excel提供了一個非常方便的MIRR公式,只要將現金流量及再投資報酬率直接輸入,就立刻得到結果,公式如下:

=MIRR({-1000000,200000,250000,300000,300000,930000}, 8%, 5%)
= 16.09%

這結果是和前面算法是完全一致的。第二個參數是資金利率(frate)8%,在這個例子並沒有用到,所以可以設任何值而沒有影響的,第三個參數就是再投資利率(rrate) 5%。

資金利率(Finance Interest Rate)

以上所有的例子都是資金只有投入一次,假若第2年時該投資資金不夠,需要再投入50萬,那麼第二年的現金流量等於-500,000+250,000 = -250,000,所以現金流量表修正為:

{-1000000, 200000, -250000, 300000, 300000, 930000}

負值部份有兩筆,代表有兩次現金投入,分別為期初及第二年。負值項目是屬於現金流出,相當於有兩筆資金分批投入,已經不再是只有期初投入資金而已,這部份又該如用計算呢?很簡單,只要將第二年所需投入的資金以資金利率折成期初現值,再加上期初投入的資金就好了。

假若資金取得利率是8%,那麼第2年所需的資金25萬的期初現值是:

=250000/(1+8%)^2 = 214,334.7

等同的意義是說:期初只要投入214,334,以8%利率兩年後就足以支付250,000。然後把期初投入的1,000,000 + 214,334 = 1,214,334,就是整個投資於期初所要投入的總資金。

MIRR計算原則如下:將所有的現金流入(正值)以在投資利率rrate求取未來值加總就是期末淨值FV;將所有的現金流出(負值)以資金利率frate求取現值加總就是期初總投入PV,再利用式子(3)求R值。

以依這樣的原則,MIRR計算分別如下:

期初總投入 PV (資金利率frate = 8%):

=1000000+250000/(1+8%)^2 = 1,214,334.7

期末淨值 FV (再投資報酬率rrate = 5%):

=200000*(1+5%)^4+ 300000*(1+5%)^2 + 300000*(1+5%)^1+ 930000*(1+5%)^0 = 1,818,851.2

年化報酬率 R:

=(1818851.2/1214334.7)^(1/5)-1= 8.416%

上面計算方式都只是為了說明,以Excel MIRR函數就可輕鬆得到相同的結果:

=MIRR({-1000000,200000,-250000,300000,300000,930000}, 8%, 5%) = 8.416%

結論

內部報酬率的分批現金流入及現金流出,都假設同樣以IRR為再投資以及資金的取得方式,MIRR主要是修正IRR,以再投資利率計算現金流入的期末淨值,以及將未來再投入所需要的資金以資金利率折算現值。所以以MIRR的方式所求得的報酬率應該是比較符合實際的狀況。

其他網站之參考資料

投資評估的財務衡量方法 (微軟)



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